第四节 多元函数的极值及其求法 Tables of ContentI. 多元函数的极值1.1 极值的概念1.2 极值的必要条件1.3 极值的充分条件II. 条件极值与拉格朗日乘数法III. 连续函数在有界闭区域上的最值问题I. 多元函数的极值 1.1 极值的概念 设函数z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y)在U(x0,y0)U(x_0, y_0)U(x0,y0)上有定义，若：
则称f(x0,y0)f(x_0, y_0)f(x0,y0)为极大值；若：
则称f(x0,y0)f(x_0, y_0)f(x0,y0)为极小值
例1：设f(x,y)f(x, y)f(x,y)在点(0,0)(0, 0)(0,0)的邻域内连续，若：
则_____.
A：点(0,0)(0, 0)(0,0)不是f(x,y)f(x, y)f(x,y)的极值点B：点(0,0)(0, 0)(0,0)是f(x,y)f(x, y)f(x,y)的极大值点C：点(0,0)(0, 0)(0,0)是f(x,y)f(x, y)f(x,y)的极小值点D：无法判断点(0,0)(0, 0)(0,0)是否为f(x,y)f(x, y)f(x,y)的极值点Answer因为f(x,y)f(x, y)f(x,y)在U(0,0)U(0, 0)U(0,0)上连续，所以：
又根据极限的保号性可知：
且此时：
所以f(0,0)f(0, 0)f(0,0)为极大值，故选B
1.2 极值的必要条件 设函数z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0)处具有偏导数，且在点(x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0)处有极值，则有：
即：可偏导函数在极值点处的偏导数必为零
Tip
所有可能的极值点：驻点[1]、偏导数不存在的点，对于偏导数不存在的点只能通过定义来判断是否为极值点
1.3 极值的充分条件 设函数z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0)的某邻域内具有二阶连续偏导数，且：
令：
则有：
例2：设函数f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x)均有二阶连续导数，且：
则函数z=f(x)⋅g(y)z = f(x) \cdot g(y)z=f(x)⋅g(y)在点(0,0)(0, 0)(0,0)处取得极小值的一个充分条件是_____.
A：f′′(0)<0,g′′(0)>0f''(0) \lt 0, g''(0) \gt 0f′′(0)<0,g′′(0)>0B：f′′(0)<0,g′′(0)<0f''(0) \lt 0, g''(0) \lt 0f′′(0)<0,g′′(0)<0C：f′′(0)>0,g′′(0)>0f''(0) \gt 0, g''(0) \gt 0f′′(0)>0,g′′(0)>0D：f′′(0)>0,g′′(0)<0f''(0) \gt 0, g''(0) \lt 0f′′(0)>0,g′′(0)<0Answer已知：
则它的一阶偏导数为：
它的二阶偏导数为：
根据极值的充分条件，需要满足：
即：
可推得：
故选A
例3：求函数f(x,y)=xe−x2+y22f(x, y) = xe^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}f(x,y)=xe−2x2+y2的极值
Answer首先计算出一阶偏导数：
然后找出f(x,y)f(x, y)f(x,y)的驻点：
然后计算出二阶偏导数：
根据极值的充分条件对(1,0)(1, 0)(1,0)和(−1,0)(-1, 0)(−1,0)两个点进行校验：
故(1,0)(1, 0)(1,0)和(−1,0)(-1, 0)(−1,0)均为极值点，且：
II. 条件极值与拉格朗日乘数法 条件极值，即目标函数z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0\varphi(x, y) = 0φ(x,y)=0下的极值；其求法为，设函数：
然后求解方程组：
所得到的点(x,y,z)(x, y, z)(x,y,z)就是可能的极值点
Tip
对于实际问题，若驻点唯一，且由实际意义可知存在最大值或最小值，则该驻点即为最大值或最小值点；若存在多个驻点，且由实际意义可知既存在最大值又存在最小值，则只需比较各驻点处的函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值
III. 连续函数在有界闭区域上的最值问题 设函数f(x,y)f(x, y)f(x,y)在有界闭区域DDD上连续，则求f(x,y)f(x, y)f(x,y)在DDD上最值的步骤为：
求出f(x,y)f(x, y)f(x,y)在DDD上可能的极值点（即驻点和偏导数不存在的点）求出f(x,y)f(x, y)f(x,y)在DDD边界上的最大值与最小值（求法参考条件极值）比较前两步得出的各点处函数值这样，最后比较出来的最小的函数值便是最小值，最大的函数值便是最大值
例4：求函数f(x,y,z)=xyzf(x, y, z) = xyzf(x,y,z)=xyz在约束条件x−1+y−1+z−1=1(x>0,y>0,z>0)x^{-1} + y^{-1} + z^{-1} = 1 \, (x \gt 0, y \gt 0, z \gt 0)x−1+y−1+z−1=1(x>0,y>0,z>0)下的最小值
Answer设函数：
然后求解方程组：
于是可解得：
代入约束式可得：
于是这个最小值为：
例5：求函数f(x,y)=x2+2y2−x2y2f(x, y) = x^2 + 2y^2 - x^2y^2f(x,y)=x2+2y2−x2y2在区域D={(x,y)∣x2+y2≤4,y≥0}D = \{ (x, y) | x^2 + y^2 \leq 4, y \geq 0 \}D={(x,y)∣x2+y2≤4,y≥0}上的最大值和最小值
Answer区域DDD边界处的最大值与最小值：
区域DDD的边界由：
和：
组成，首先设：
找出g1′(x)=0g_1'(x) = 0g1′(x)=0的点：
再分别计算每个可能的点对应的函数值：
其次设：
找出g2′(x)=0g_2'(x) = 0g2′(x)=0的点：
再分别计算出每个可能的点对应的函数值：
区域DDD内的最大值与最小值：
首先计算出驻点：
解得：
再计算出所对应的f(x,y)f(x, y)f(x,y)的值：
最后通过比较可得：最大值为888，最小值为000
即偏导数均为零的点 ↩︎